\documentclass[UTF8, 10pt, a4paper, oneside]{ctexart}
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\geometry{left=1.27cm, right=1.27cm, top=1.27cm, bottom=1.5cm}
\linespread{1.5}
\title{\vspace{-2em}2025八省联考11题——纽结理论}
\author{Lucas2011}
\date{\today}
\pagestyle{plain}

\newcommand{\Ptw}[0]{%
\begin{tikzpicture}[x=1ex, y=1ex, line width=1.5, 
  baseline={([yshift=-.5ex]current bounding box.center)},
  scale=0.6,
]
\begin{knot}[ clip width=2,
  end tolerance=1pt,
]
\strand  (6,9) .. controls (6,3) and (0,1) .. (0,5);
\strand  (0,5) .. controls (0,9) and (6,7) .. (6,1);
\end{knot}
\end{tikzpicture}%
}

\newcommand{\Pl}{%
\hspace{0.5em}
\begin{tikzpicture}[x=1ex, y=1ex, line width=1.5, 
  baseline={([yshift=-.5ex]current bounding box.center)},
  scale=0.6,
]
\begin{knot}[ clip width=2,
  end tolerance=1pt,
]
\strand  (0,-5) -- (0,5);
\end{knot}
\end{tikzpicture}%
\hspace{0.5em}
}

\newcommand{\Plo}{%
\hspace{0.5em}
\begin{tikzpicture}[x=1ex, y=1ex, line width=1.5, 
  baseline={([yshift=-.5ex]current bounding box.center)},
  scale=0.6,
]
\begin{knot}[ clip width=2,
  end tolerance=1pt,
]
\strand  (0,-5) -- (0,5);
\strand  (6,4) .. controls (0,4) and (0,-4) .. (6,-4);
\end{knot}
\end{tikzpicture}%
\hspace{0.5em}
}

\newcommand{\Ppk}[0]{%
\begin{tikzpicture}[x=1ex, y=1ex, line width=1.5, 
  baseline={([yshift=-.5ex]current bounding box.center)},
  scale=0.6,
]
\begin{knot}[ clip width=2,
  end tolerance=1pt,
]
\strand  (1,-5) -- (1,5);
\strand  (4,4) .. controls (-3,4) and (-3,-4) .. (4,-4);
\end{knot}
\end{tikzpicture}%
\hspace{0.5em}
}

\newcommand{\Plx}{%
\hspace{0.5em}
\begin{tikzpicture}[x=1ex, y=1ex, line width=1.5, 
  baseline={([yshift=-.5ex]current bounding box.center)},
  scale=0.6,
]
\begin{knot}[ clip width=2,
  end tolerance=1pt,
]
\strand  (-3.5,-5) -- (-3.5,5);
\strand  (-5,5) -- (5,-5);
\strand  (-5,-5) -- (5,5);
\end{knot}
\end{tikzpicture}%
\hspace{0.5em}
}

\newcommand{\Pxl}{%
\hspace{0.5em}
\begin{tikzpicture}[x=1ex, y=1ex, line width=1.5, 
  baseline={([yshift=-.5ex]current bounding box.center)},
  scale=0.6,
]
\begin{knot}[ clip width=2,
  end tolerance=1pt,
]
\strand  (3.5,-5) -- (3.5,5);
\strand  (-5,5) -- (5,-5);
\strand  (-5,-5) -- (5,5);
\end{knot}
\end{tikzpicture}%
\hspace{0.5em}
}

\newcommand{\Pwc}{%
\hspace{0.5em}
\begin{tikzpicture}[x=1ex, y=1ex, line width=1.5, 
  baseline={([yshift=-.5ex]current bounding box.center)},
  scale=0.6,
]
\begin{knot}[ clip width=2,
  end tolerance=1pt,
]
\strand [red] (0,-5) -- (0,5);
\strand [blue] (-5,0) .. controls (2.5,3) .. (5,-3);
\end{knot}
\end{tikzpicture}%
\hspace{0.5em}
}

\newcommand{\Po}{%
\hspace{0.5em}
\begin{tikzpicture}[x=1ex, y=1ex, line width=1.5, 
  baseline={([yshift=-.5ex]current bounding box.center)},
  scale=0.6,
]
\begin{knot}[ clip width=2,
  end tolerance=1pt,
]
\filldraw[fill=none] circle (3.5);
\end{knot}
\end{tikzpicture}%
\hspace{0.5em}
}

\newcommand{\Poo}{%
\hspace{0.5em}
\begin{tikzpicture}[x=1ex, y=1ex, line width=1.5, 
  baseline={([yshift=-.5ex]current bounding box.center)},
  scale=0.6,
]
\begin{knot}[ clip width=2,
  end tolerance=1pt,
]
\filldraw[fill=none] (-5,0) circle (3.5);
\filldraw[fill=none] (5,0) circle (3.5);
\end{knot}
\end{tikzpicture}
\hspace{0.5em}
}
\newcommand{\Ptri}{
\begin{tikzpicture}[x=1.5ex, y=1.5ex, line width=1, 
    baseline={([yshift=-.5ex]current bounding box.center)},
    scale=1,
  ]
  \begin{knot}[clip width=2,
    end tolerance=1pt,
    consider self intersections,
    flip crossing=2,
  ]
  \strand
  (90:2) to[out=180,in=-120,looseness=2]
  (-30:2) to[out=60,in=120,looseness=2]
  (210:2) to[out=-60,in=0,looseness=2] (90:2);
  \end{knot}
  \end{tikzpicture}
}

\newcommand{\Phopf}{%
\begin{tikzpicture}[x=1ex, y=1ex, line width=1.5, 
  baseline={([yshift=-.5ex]current bounding box.center)},
  scale=0.6,
]
\begin{knot}[ clip width=2,
  end tolerance=1pt,
  flip crossing=2,
]
\strand  (-2,0) circle (3.5);
\strand  (2,0) circle (3.5);
\end{knot}
\end{tikzpicture}
}

\begin{document}
\maketitle

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{exercise}{题目}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{answer}{【答案】}
\newtheorem{method}{性质}
\newtheorem*{explanation}{【解析】}

\begin{exercise}
    \textcolor{white}{space}

    \vspace{-8em}
    \begin{figure}[ht!]
        \centering
        \includegraphics[width=0.9\textwidth, keepaspectratio]{assists/exercise11_unremarked.jpg}
        \caption{八省联考11题原题}
        \label{orig}
    \end{figure}
\end{exercise}
\begin{answer}
    ABD
\end{answer}
\begin{explanation}
    本题涉及纽结理论与拓补学，将简单介绍。

    我们有多种变量来描述一个扭结，最简单的一个变量是\textbf{交叉点}，即一个扭结中有多少个交点。

    扭结可以通过许多方式进行无损伤的变换，具体来说，有以下三种方式（$\bm{R^3}$）：\vspace{0.5em}
    \begin{adjustwidth}{2em}{}
        \begin{asparaenum}[1)]
            \item 扭转(Twist)：即将\Pl 扭转成 \Ptw
            \item 交叉(Poke)：即将\Plo 中左边的竖线向右平移使其交叉，形成 \Ppk
            \item 滑动(Slide)：即将线从交叉点一侧\Plx 移至另一侧 \Pxl
        \end{asparaenum}
    \end{adjustwidth}

    最简扭结可以通过以上变换得到新的扭结，称为其最简扭结的\textbf{投影}。本题就是问我们本题中哪个是题图（三交叉节，Trefoil）的投影。如果两个节无论经过多少次$R^3$变换都不能完全相同，我们才能说明它们是不同的。

    那么除了一次次的枚举$R^3$变换，我们有没有一些系统的方法来说明它们不同呢？这个问题也被称为\textbf{“扭结同痕问题”}\footnote{也作“扭结等价问题”、“扭结分类问题”。}。千百年来，无数数学家为此努力，终于发现了扭结的一些性质不会随$R^3$变换而改变，这些性质被称为\textbf{不变量}。于是，\textbf{若两个扭结的任意一个不变量不同，我们就可以断定这两个扭结是不同的。}

    常见的不变量有\textbf{三色性（进一步地，p-色性）}、\textbf{亚历山大多项式}、\textbf{HOMFLY-PT多项式}等，将逐一介绍。

    \begin{method}[三色性]
        扭结中被交叉点分隔开的一小段称为\textbf{片段}，一个扭结的所有片段是否能被三种颜色染色，即\textbf{三色性}。染色要遵循两条规则：
        \begin{inparaenum}[1)]
            \item 必须使用\textbf{至少两种颜色}，因为任何扭结都可以被一种颜色染色；
            \item 在交点处，颜色要么\textbf{完全相同}，要么\textbf{完全不同}。也就是说，在交点处不可能出现两种颜色的交点。即不能出现：\Pwc
        \end{inparaenum}

        显然，有无三色性不随$R^3$变换而改变。

        \newpage

        对于一个扭结，我们只能描述其具有或不具有三色性，而没有其他可能。常见的具有三色性的扭结有三交叉节，如图所示：
        \begin{figure}[h!]
            \centering
            \begin{minipage}[ht!]{0.5\textwidth}
                \centering
                \begin{tikzpicture}
                    \path[spath/save=trefoil]
                    (0,2) .. controls +(2.2,0) and +(120:-2.2) ..
                    (210:2) .. controls +(120:2.2) and +(60:2.2) ..
                    (-30:2) .. controls +(60:-2.2) and +(-2.2,0) .. (0,2);
                    \tikzset{
                        every trefoil component/.style={draw},
                        trefoil component 1/.style={blue, dash dot, line width=2pt},
                        trefoil component 2/.style={green, dashed, line width=2pt},
                        trefoil component 3/.style={magenta, line width=2pt},
                        spath/knot={trefoil}{15pt}{1,3,5},
                    }
                \end{tikzpicture}
                \caption{三交叉节的三色染色}
                \label{trefoil_coloring}
            \end{minipage}
            \centering
            \begin{minipage}[ht!]{0.4\textwidth}
                \includegraphics[width=0.8\textwidth, keepaspectratio]{assists/colored_optionD.jpg}
                \caption{D选项无法进行三色染色}
                \label{colored_optionD}
            \end{minipage}
        \end{figure}

        知道了这些知识，我们就可以选出A选项。由图\ref{trefoil_coloring} 可知，题图（三交叉节）具有三色性。而A是\textbf{平凡节（unknot）}，不具有三色性，故A图不能无损伤的变为题图。相似地，D选项也不具有三色性，如图\ref{colored_optionD} 所示，不能无损伤的变为题图。

        三色性可以被进一步地推广到p-色性：选定任意一个质数$p$，能否在满足下列条件下，为扭结中所有片段标上0,1,2,\dots,$(p-1)$。若能，我们称这个扭结有\textbf{p-色性}。
        \begin{inparaenum}[1)]
            \item 必须使用\textbf{至少两种颜色}，因为任何扭结都可以被一种颜色染色；
            \item 在交叉处的\textbf{各自绳段的数字标记之和必须在模p意义下同余}，记交叉处四段标数为$b_1$、$b_2$、$t$、$t$（因为总有两边为同一个数），则上述表述可以简化为：
        \end{inparaenum}
        $$
            b_1 + b_2 \equiv t + t \pmod {p}
        $$
    \end{method}

    \begin{method}[HOMFLY-PT多项式]
        在纽结理论中，HOMFLY多项式或HOMFLY-PT多项式是一种双变元的纽结多项式；透过变元代换，它可以涵括琼斯多项式与亚历山大多项式在三维的情形。

        “HOMFLY”一名得自该多项式的发现者：\textbf{H}oste、\textbf{O}cneanu、\textbf{M}illett、\textbf{F}reyd、\textbf{L}ickorish、\textbf{Y}etter；“PT”二字旨在纪念另两位独立发现此结不变量的数学家 \textbf{P}rzytycki 与 \textbf{T}raczyk。

        HOMFLY多项式 $P_{K}(\ell ,m)=P(K)$ 由下述拆接关系唯一地定义：
        \begin{equation*}
            \begin{gathered}
                P(\Po) = 1,\\
                \ell P(L_{\text{fwd}})+\ell ^{-1}P(L_{\text{bwd}})+mP(L_{\text{sep}})=0
            \end{gathered}
        \end{equation*}
        其中fwd、bwd、sep是交叉点的相对方向，分别与下图中$L_+$、$L_-$、$L_0$相对应。
        \begin{figure}[ht!]
            \centering
            \includegraphics[width=0.3\textwidth, keepaspectratio]{assists/Skein_(HOMFLY).png}
            \caption{交叉点的相对方向}
        \end{figure}

        则通过上述式子，通过递归关系就可以求解出任意一个扭结的HOMFLY-PT多项式。如果两个扭结的HOMFLY-PT多项式不同，则我们可以说这两个扭结不同。以本题B选项为例，具体介绍其操作方法。

        首先选定一个交叉点，我选择最左边的交叉点作为研究对象。令其交叉方向为fwd方向，将我们要求的HOMFLY-PT多项式记为$P(L_B)$，待会带入公式时，应将其带入$P(L_{\text{fwd}})$项。

        接下来，找bwd项。将该交叉点后面的线提前，观察可知其变成了一个平凡节(\Po)，于是
        \[
            P(L_{\text{bwd}})=P(\Po) = 1
        \]

        然后，找sep项。将该交叉点四个绳段断开，再将原来没有连在一起的绳段连接，观察可知其变成了两个平凡链环，于是
        \[
            P(L_{\text{sep}})=P\left( \Poo \right)
        \]

        同理，其中$P\left( \Poo \right)$满足：
        \[
            \ell P(\Po) + \ell^{-1}P(\Po) + mP\left(\Poo\right) = 0
        \]

        而$P(\Po) = 1$，代入可解得$P\left(\Poo\right) = - \ell\cdot m^{-1} - \ell^{-1}\cdot m^{-1}$\vspace{1em}

        现在万事俱备，只欠东风。将上述分析代入表达式：
        \[
            \ell P(L_{\text{fwd}})+\ell ^{-1}P(L_{\text{bwd}})+mP(L_{\text{sep}})=0
        \]

        即
        \[
            \ell P(L_B)+\ell ^{-1}P(\Po)+mP\left( \Poo \right)=0
        \]

        解得$P(L_B) = 1$，B选项竟然只是一个平凡节。

        %同理可得，题图的HOMFLY-PT多项式应当为$m^2\cdot \ell^{-2} -2\ell^{-2} - \ell^{-4}$，与B选项的HOMFLY-PT多项式不同，所以B选项不能无损伤的变为题图。

        接下来，我们再用相似的方式计算题图的HOMFLY-PT多项式：

        取左上交叉点作为研究对象，令其交叉方向为fwd方向，记三交叉节的HOMFLY-PT多项式为$P\left(\Ptri\right)$。

        接下来，找bwd项。将该交叉点后面的线提前，观察可知其变成了一个平凡节，于是
        \[
            P(L_{\text{bwd}})=P(\Po) = 1
        \]

        然后，找sep项。将该交叉点四个绳段断开，再将原来没有连在一起的绳段连接，稍加整理，可知其变成了一个霍普夫链环$\left( \Phopf\right)$。
        \[
            P(L_{\text{sep}})=P\left( \Phopf \right)
        \]

        对霍普夫链环应用HOMFLY-PT多项式：
        \[
            \ell P\left(\Phopf\right) + \ell^{-1} P(\Poo) + mP(\Po) = 0
        \]

        代入$P\left(\Poo\right) = - \ell\cdot m^{-1} - \ell^{-1}\cdot m^{-1}$，解得$P\left(\Phopf\right) = -m\cdot\ell^{-1} + m^{-1}\cdot\ell^{-1} + m^{-1}\cdot\ell^{-3}$

        再代入三交叉节的HOMFLY-PT表达式：
        \[
            \ell P\left(\Ptri\right)+\ell ^{-1}P(\Po)+mP\left(\Phopf\right)=0
        \]

        解得$P\left(\Ptri\right) = m^2\cdot \ell^{-2} -2\ell^{-2} - \ell^{-4}$，与B选项的HOMFLY-PT多项式不同，所以B选项不能无损伤的变为题图。

    \end{method}

\end{explanation}

\end{document}